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PID对一阶系统

一阶系统开环响应（无控制）

% 定义一阶系统参数
K = 2;
T = 5;
G = tf(K, [T 1]);  % 传递函数 G(s) = 2/(5s + 1)

% 绘制开环阶跃响应
figure;
step(G);
title('一阶系统开环阶跃响应');
grid on;

• 开环系统响应缓慢，存在稳态误差（终值为 K=2，若期望为 1 则误差为 1）

一阶系统闭环

% 定义一阶系统参数
K = 2;
T = 5;
G = tf(K, [T 1]);  % 传递函数 G(s) = 2/(5s + 1)

G_c = feedback(G, 1);  % 闭环系统
% 绘制开环阶跃响应
figure;
step(G_c);
title('一阶系统闭环阶跃响应');
grid on;

比例控制（P 控制）

Kp = 3;  % 比例增益
Gc_p = tf(Kp, 1);  % P控制器传递函数
G_p = feedback(Gc_p * G, 1);  % 闭环系统

figure;
step(G_p);
title('P控制下的一阶系统阶跃响应');
grid on;

• Kp​ 增大，响应速度加快，稳态误差减小（但无法完全消除）

比例积分控制（PI 控制）

Kp = 2;
Ki = 1;  % 积分增益
Gc_pi = tf([Kp Ki], [1 0]);  % PI控制器传递函数
G_pi = feedback(Gc_pi * G, 1);  % 闭环系统

figure;
step(G_pi);
title('PI控制下的一阶系统阶跃响应');
grid on;

• 积分作用消除稳态误差（终值精确跟踪期望）。
• Ki​ 增大，消除误差速度加快，但可能导致响应变慢或轻微超调（一阶系统超调仍较小）

比例微分控制（PD 控制）

Kp = 2;
Kd = 1;  % 微分增益
Gc_pd = tf([Kd Kp], 1);  % PD控制器传递函数
G_pd = feedback(Gc_pd * G, 1);  % 闭环系统

figure;
step(G_pd);
title('PD控制下的一阶系统阶跃响应');
grid on;

• 微分作用预测误差变化，加快响应速度，减小上升时间。

• 对稳态误差无影响，仍需结合 P 或 PI 控制。

比例积分微分控制（PID 控制）

Kp = 2;
Ki = 1;
Kd = 0.9;
Gc_pid = tf([Kd Kp Ki], [1 0]);  % PID控制器传递函数
G_pid = feedback(Gc_pid * G, 1);  % 闭环系统

figure;
step(G_pid);
title('PID控制下的一阶系统阶跃响应');
grid on;

• Kp​ 调整响应速度，Ki​ 消除稳态误差，Kd​ 抑制超调（若存在）。
• 合理整定参数可实现 “快、准、稳” 的响应

PID对二阶系统

二阶系统无控制响应（基准）

% 定义二阶系统参数
zeta = 0.4;   % 阻尼比
wn = 2;       % 自然频率
G = tf(wn^2, [1 2*zeta*wn wn^2]);  % 传递函数

% 绘制无控制阶跃响应
figure;
step(G);
title('二阶系统无控制阶跃响应');
grid on;

• 无控制时系统存在超调（约 25%），上升时间较长，若系统增益不为 1 还会有稳态误差。

二阶系统无控制响应（闭环）

% 定义二阶系统参数
zeta = 0.4;   % 阻尼比
wn = 2;       % 自然频率
G = tf(wn^2, [1 2*zeta*wn wn^2]);  % 传递函数

G_c = feedback(G, 1);  % 闭环系统
% 绘制开环阶跃响应
figure;
step(G_c);
title('二阶系统闭环阶跃响应');
grid on;

比例控制（P 控制）

Kp = 3;  % 比例增益
Gc_p = tf(Kp, 1);
G_p = feedback(Gc_p * G, 1);  % 闭环系统

figure;
step(G_p);
title('P控制下的二阶系统阶跃响应');
grid on;

• Kp​ 增大：响应速度加快（上升时间缩短），但超调量增大，调节时间可能变长。
• 稳态误差：若原系统为 “0 型” 系统，P 控制可减小但无法消除稳态误差

比例微分控制（PD 控制）

Kp = 3;
Kd = 1;  % 微分增益
Gc_pd = tf([Kd Kp], 1);
G_pd = feedback(Gc_pd * G, 1);

figure;
step(G_pd);
title('PD控制下的二阶系统阶跃响应');
grid on;

• 微分作用 “预测” 误差变化，提前施加制动，显著减小超调量（甚至消除超调）。
• 响应速度仍较快（上升时间短），但对稳态误差无改善。

比例积分控制（PI 控制）

Kp = 2;
Ki = 1;  % 积分增益
Gc_pi = tf([Kp Ki], [1 0]);
G_pi = feedback(Gc_pi * G, 1);

figure;
step(G_pi);
title('PI控制下的二阶系统阶跃响应');
grid on;

• 积分作用累积误差，完全消除稳态误差（终值精确跟踪期望）。
• 但积分的 “滞后” 特性可能导致超调量增大，调节时间变长，需合理整定 Ki​

比例积分微分控制（PID 控制）

Kp = 3;
Ki = 2;
Kd = 0.8;
Gc_pid = tf([Kd Kp Ki], [1 0]);
G_pid = feedback(Gc_pid * G, 1);

figure;
step(G_pid);
title('PID控制下的二阶系统阶跃响应');
grid on;

• Kp​ 加快响应，Ki​ 消除稳态误差，Kd​ 抑制超调。
• 合理整定参数可实现 “无超调、无稳态误差、快速响应” 的理想效果

模拟PID与数字PID

在线仿真

https://www.luisllamas.es/en/pid-controller-simulator/
https://pid-simulator-web.skythinker.top/